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Derivada de la función exponencial
La derivada de la función exponencial natural es
por lo que esta función es su propia derivada!
Explicación
Comenzamos con la función exponencial
f (x) = ax
La sustitución en la definición de la derivada da como resultado
Si se reduce, se obtiene
Para x = 0 se convierte en
Esta es una constante, ya que no hay ninguna x en ella. El valor sólo depende de a, la base. Por lo tanto, se puede escribir
Queremos saber para qué valor de a la función f ′(0) = 1, porque entonces f ′(x) = ax, y la función es su propia derivada. Por lo tanto, calculamos
Multiplicar por h
Al cambiar los términos se obtiene
La exponenciación da
Simplifique
Tomemos , y como h → 0, esto da n → ∞, y asi
Este valor se llama el número e - de exponente. Para ese número se obtiene
y la función exponencial natural es su propia derivada!